起源

人类在探索每一个科学问题的时候，为了简化问题，都会把具体科学问题看作一个机器。给这个机器输入一个条件，机器会运转，对条件进行加工，然后输出一种现象。

通过研究输入与输出，有时候可以推测出机器内部的构造，这就是所谓的科学。

比如牛顿，他发现：给物体一个力，就能使物体产生一个加速度，力越大，加速度就越大。

当然，有时候研究了输入与输出，依然没有搞清楚机器内部的原理，只是知道一个大概的规律，那么就干脆先不管内部原理，先把这个规律为自己所用。

这就是所谓的工程。比如，人们通过做实验发现，给机翼一个气流，机翼就能够产生一个升力，人们并不能解释升力是怎么产生的，但是不妨碍自己使用，于是给一个驾驶舱装上两个翅膀，飞机就上天了。

人类探索自然运行的原理，归根结底是想利用这些原理，对万物进行定量控制。

定量控制的意思是说：牛顿写出《原理》这本书的时候，不能够含糊其辞的说，给物体很大的力，物体就能产生很大的加速度。而是必须告诉大众：给一个多少 Kg 的物体多少 N 的力能够产生多少
的加速度。

这时候，数学应运而生。简而言之，数学就是人类在解释这个世界是怎样运行的时候，人为发明的一种工具，有了这种工具，我们可以不用那么含糊其辞。

于是，就有了函数。

于是就有了 F=Ma，于是就有了各种各样的公式、定理及定律。

什么是线性代数

函数研究的是，输入一个数，经过函数运算之后，产出一个数。而有时候我们研究的问题太复杂，需要输入很多个数，经过运算之后，产出很多个数。这时候，线性代数应运而生。

很多个数，我们可以用括号括起来，形成一个数组。在几何学上，数组被称作向量，向量就是一个有大小有方向的直线段。

所以，线性代数就是：输入一段直线，经过加工之后，产出一段直线。

线性的意思就是，你往机器里扔进去直线，产出的肯定也是直线。

当然，在数学上，线性有着及其严格的定义，并不是像我刚才说的那么简单。不过，正由于线性的严格定义，才能够实现：输入一段直线，产出一段直线。

与函数相类似，用图描述线性代数就是：

输入叫向量，内部原理叫矩阵，输出叫向量。

矩阵是怎么对直线进行加工的？

通过函数表达式 y=5x+9 我们可以一目了然地知道，输入的自变量 x 是怎样一步步被加工，最后输出因变量 y 的。

同样，我们通过观察矩阵，也可以一目了然地知道，输入的直线是怎样一步步被加工的。

假如输入的直线为[1,2]。

插一句，向量[1,2]的全称其实是 1i+2j，i 和 j 叫做基向量。意思是说，我们目前所写出来的向量，是以这两个向量作为基本原料，拼凑组合出来的。

假如用于加工向量的矩阵为[0,1 -1,0]，

那么这个矩阵所代表的加工过程就是，把基向量 i，换成矩阵中的第一列，把基向量 j 换成矩阵中的第二列。然后再以新的基向量为原料，重新利用[1，2]拼凑一个新的向量。用新的基向量拼凑出来的新向量就是输出。

通过展示矩阵对向量的加工过程，我们可以“看出”上面例子的解。

下面，我们用熟悉的口诀“左行乘右列”来检验一下上面的答案是否靠谱。

其实，计算所用的口诀就来源于上述加工过程。

同理，稍微复杂一些的三维向量遇到三维矩阵后的加工过程如下图：

行列式是什么？

矩阵对向量进行加工，行列式能够描述这种加工作用的强弱。

有时候，矩阵的行列式为 0，说明新的基向量张成的面积为 0，说明新的基向量发生了重合。

有时候，矩阵的行列式为负数，说明线性空间发生了翻转。也就是说，本来，默认的两个基向量，j 在 i 的逆时针方向，经过矩阵加工之后，线性空间发生了翻转，导致 i 在 j 的逆时针方向。如下图：

什么叫单位矩阵？

矩阵能够对向量进行加工，产生一个新的向量。但有一种矩阵比较特殊，无论给它输入什么样的向量，加工后产生的向量都与原来的相同，这种矩阵叫单位矩阵。

既然矩阵对向量的加工作用是通过改变基向量来实现的，如果想保持输入与输出相等，那么只需要保证矩阵不会改变基向量即可。

所以，二阶单位矩阵，三阶单位矩阵以及 n 阶单位矩阵可写为：

总结

所以线性代数到底研究什么？

其实就是利用线性空间和线性变换，提供了一个框架，这个框架可以把几何，分析，解方程代数统一到这个框架下面。

任意元素都可以用线性空间的基矢量进行线性表达， 用抽象的形式表达广泛的数学和物理学概念的特征。

举个栗子：

我们平时用的屏幕，各种屏幕，不管是电视，手机，电脑，平板，不管哪种操作系统，我们在任何一个平台观看同一部电影时，看到的都是相同的图像。

可实际上，每个硬件平台的屏幕规格并不完全相同，并不是简单的放大，就能解决这个多平台播放的问题的，这问题的背后，就是事物的本身的属性中，有些是不变的，不随平台或者说屏幕的改变而改变

我们对这个本质，最直观的理解是，图像的比例不变，角度不变。但这点观察，不足以解释为什么屏幕分辨率改变了，明明屏幕比例变了，这部电影并没有随之变化。

线性代数用一种更深入的数学方式进行观察，发现了特征值这个更接近本质的属性，不管屏幕、设备如何变化，是这部电影的特征值一直没有变，它的这个最核心的属性一直没有改变，所以我们的眼睛看到结果，效果都没变。

这就是线性代数的推导过程，几乎所有人，都能在冥冥中感觉到，两个事物间有某种联系，但这种联系是什么？说不上来。 这种联系用一个代数方程，还表示不出来。一个表示不出来，那么就用两个，用三个，用更多的方程，组成方程组来表示这两者间的内在联系， 这就是矩阵。研究矩阵的变换，就是在变化中把握不变（特征）。